「JLOI2015」装备购买

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题目描述

脸哥最近在玩一款神奇的游戏，这个游戏里有 $n$ 件装备，每件装备有 $m$ 个属性，用向量 $\mathbf{z_i}=(a_1, \ldots ,a_j, \ldots , a_m)$ 表示 ($1 \leq i \leq n, \ 1 \leq j \leq m$)，每个装备需要花费 $c_i$，现在脸哥想买一些装备，但是脸哥很穷，所以总是盘算着怎样才能花尽量少的钱买尽量多的装备。对于脸哥来说，如果一件装备的属性能用购买的其他装备组合出（也就是说脸哥可以利用手上的这些装备组合出这件装备的效果），那么这件装备就没有买的必要了。

严格的定义是，如果脸哥买了 $\mathbf{z_{i_1}}, \ldots , \mathbf{z_{i_p}}$ 这 $p$ 件装备，那么对于任意待决定的 $\mathbf{z_h}$，不存在 $b_1, \ldots ,b_p$ 使得 $b_1\mathbf{z_{i_1}} + \ldots + b_p\mathbf{z_{i_p}} = \mathbf{z_h}$（$b_i$ 均是实数），那么脸哥就会买 $\mathbf{z_h}$，否则 $\mathbf{z_h}$ 对脸哥就是无用的了，自然不必购买。

举个例子， $\mathbf{z_1}=(1, 2, 3), \ \mathbf{z_2}=(3, 4, 5), \ \mathbf{z_h}=(2, 3, 4), \ b_1 =\frac{1}{2}, \ b_2 =\frac{1}{2}$，就有 $b_1\mathbf{z_1} + b_2\mathbf{z_2} = \mathbf{z_h}$，那么如果脸哥买了 $\mathbf{z_1}$ 和 $\mathbf{z_2}$ 就不会再买 $\mathbf{z_h}$ 了。

脸哥想要在买下最多数量的装备的情况下花最少的钱，你能帮他算一下吗？

算法讨论

挺裸的一个题，以前对线性基的认识还只停留在用法上，只会打异或线性基的板子。。

其实线性基的本质在于消元，它维护了一些上三角型的基，在插入一个新的向量时，它会和前面的基进行消元，如果刚好消干净了，说明这组基能表示这个向量，否则的话，就把消剩下的这些东西留在基里面

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#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 505;
typedef double db;
const db eps = 1e-5;

char buf[1 << 20], *p1, *p2;
#define GC (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread (buf, 1, 1000000, stdin), p1 == p2) ? 0 : *p1 ++)
inline int _R() {
	int d = 0; bool ty = 1; char t;
	while (t = GC, (t < '0' || t > '9') && t != '-') ;
	t == '-' ? (ty = 0) : (d = t - '0');
	while (t = GC, t >= '0' && t <= '9') d = (d << 3) + (d << 1) + t - '0';
	return ty ? d : -d;
}

int n, m, ans1, ans2;

struct Data {
	db d[N];
	int v;
	bool operator < (const Data& rhs) const {
		return v < rhs.v;
	}
	void _init() {
		for (int i = 1; i <= m; i ++) d[i] = _R();
	}
} A[N];

int base[N];
int main() {
	// freopen("purchase.in", "r", stdin);
	// freopen("purchase.out", "w", stdout);
	int i, j, k;
	n = _R(), m = _R();
	for (i = 1; i <= n; i ++) A[i]._init();
	for (i = 1; i <= n; i ++) A[i].v = _R();
	sort(A + 1, A + 1 + n);
	for (i = 1; i <= n; i ++)
		for (j = 1; j <= m; j ++)
			if (fabs(A[i].d[j]) > eps) {
				if (!base[j]) {
					base[j] = i;
					ans1 ++;
					ans2 += A[i].v;
					break;
				}
				else {
					db x = A[i].d[j] / A[base[j]].d[j];
					for (k = j; k <= m; k ++)
						A[i].d[k] -= A[base[j]].d[k] * x;
				}
			}
	printf("%d %d\n", ans1, ans2);
}